导读:虽然现在已经是备考最后一个月了,虽然是冲刺阶段,但是数学的基础知识非常重要。哪些内容属于基础知识呢?老师今天给大家整理了一下~

集合

集合是数学中最重要的概念,是整个数学的基础。


集合的定义是:集合是具有相同性质的元素的集体。这个定义属于循环定义,因为集 体就是集合。

理解是:把一些互不相同的东西放在一起,就组成一个集合。唯一的要求是“互不相同”。集合中的元素可以是毫不相干的。元素可以 是个体,也可以是一个集合。

比如 1,2,{1,2}就构成一个集合,集合中 有三个元素,两个是个体,一个是集合。元素可以是数对,(x,y)是一个数 对,代表二维坐标系中的一个点。如果集合中的元素没有共同的特征,要完 整地描述一个集合,我们被迫列出集合中的每一个元素,如{一阵风,一匹 马,一头牛};如果存在相同的特征,描述就简单多了,如{所有正整数}、{所 有英国男人}、{所有四川的下过马驹的红色的母马},不用一一列举。

区间 是特殊的集合,专门用来表示某些连续的实数的集合。集合在逻辑中的应用也十分广泛,学好了集合,数学和逻辑都能提高,起到“两个男人并排坐在 石头上”的作用。

集合中元素的个数是集合的重要特征。如果两个集合的元素能有一一对 应的关系,那么这两个集合元素的个数就是相等的。

在我们平时数物品的数量时,说 1,2,3,4,5,一共有 5 个,这时我们就是在把物品的集合与集合(1,2,3,4,5)建立一一对应的关系,正是因为物品数量与集合(1, 2,3,4,5)的元素个数相等,所以我们才说物品共有 5 个。

集合分为有限集合和无限集合,元素的个数一般是针对有限集合说的。

对无限集合来说, 有很多不同之处。比如{所有的正整数}与{所有的正偶数},后者只是前者 的一个子集,但两者存在一一对应的关系,因此元素个数“相等”。而{所有 整数}与{所有实数}则不可能建立一一对应的关系,因为它们的无限的级别 是不同的。对两个无限集合,我们只强调是否能一一对应,不说元素个数是 否相等。

两个集合有交集和并集的关系。交集是同时在两个集合中的所有元素的 集合。

例如{中国人}交{男人}={中国男人},{韩国俊男}交{韩国美 女}={河利秀}。并集是在其中任一个集合中的所有元素的集合。因为集合 中的元素不能重复,所以取并集时要去掉重复了的元素,A 并 B 的元素个数 =A 的元素个数+B 的元素个数-A 交 B 的元素个数。

函数

如果集合 A 中的每一个元素,按照某种对应关系,在集合 B 中都有唯 一的对应元素,那么这种对应关系被称为 A 到 B 的函数。

例如 Y=2X, Y=X^2 都建立了{全体实数}到{全体实数}的函数关系,如果用 f 代表对 应关系,则函数表述为:f(x)=2x, f(x)=x^2。如果 A 中的某些元素, 不能对应 B 中唯一的元素,则不存在函数关系。比如{所有小偷}与{所有失 主},因为某些小偷偷过很多不同失主的东西。

函数的定义域和值域。MBA 数学只考虑实数。所有能使函数有意义的 实数的集合,构成函数的定义域,即上面的集合 A。

F(X)=X^(1/2)定义域 为{X/ X》=0},F(X)=1/X 定义域为{X/ X《》=0},F(X)=LN(X)定义 域为{X/ X》0}。

如果函数中同时包括几类简单函数,则定义域是各类函数 定义域的交集。

定义域按照对应关系,能对应的所有实数的集合,构成函数 的值域。定义域、对应关系、值域,三者构成一个函数。 定义域中的每一个元素,与其在值域中对应的元素,组成一个数对,由 二维坐标系中的一个点来表示。所有这样的点形成了函数的图象。

图象能直 观地表现函数的对应关系,大家应该熟悉幂函数、指数函数、对数函数的基本图象。要求高的同学可以进一步掌握图象的平移、反射、旋转。

奇函数和偶函数的定义不说了,要注意的是奇函数和偶函数的定义域必 须关于原点对称。

F(X)=X,X 为任意实数是奇函数,如果限定 X 属于[-3, 5],那函数就不是奇函数了。 反函数。如果集合 A 中的每一个元素,按照某种对应关系,在集合 B 中都有唯一的对应元素;而 B 中的每一个元素,在 A 中都有唯一的元素与之 对应。则 A 到 B 的对应关系是可逆的,A 到 B 的对应关系是原函数,B 到 A 的对应关系是反函数。

对于连续的函数来说,只有绝对增函数或绝对减函数,才存在反函数,否则 A 中必有两个元素,在 B 中对应同一元素。对于 不连续的函数则没有上述限制。

复合函数。集合 A 中的元素,按一种函数对应到集合 B,B 中的相应元 素,再按另一种函数对应到集合 C,最后形成集合 A 到集合 C 的对应关系, 称为复合函数。