导读:现在处于备考冲刺期,虽然真题与模考非常重要,但是同学们在梳理知识的时候不要忘记了基础的知识点噢~

排列、组合、概率

排列、组合、概率都与集合密切相关。排列和组合都是求集合元素的个数,概率是求子集元素个数与全集元素个数的比值。

以最常见的全排列为例,用 S(A)表示集合 A 的元素个数。用 1、2、3、 4、5、6、7、8、9 组成数字不重复的九位数,则每一个九位数都是集合 A 的一个元素,集合 A 中共有 9!个元素,即 S(A)=9! 如果集合 A 可以分为若干个不相交的子集,则 A 的元素等于各子集元 素之和。

把 A 分成各子集,可以把复杂的问题化为若干简单的问题分别解决, 但我们要详细分析各子集之间是否确无公共元素,否则会重复计算。

集合的对应关系:如果集合 A 与集合 B 存在一一对应的关系,则 S(A)=S(B)。

如果集 合 B 中每个元素对应集合 A 中 N 个元素,则集合 A 的元素个数是 B 的 N 倍(严格的定义是把集合 A 分为若干个子集,各子集没有共同元素,且每个 子集元素个数为 N,这时子集成为集合 A 的元素,而 B 的元素与 A 的子集 有一一对应的关系,则 S(A)=S(B)*N

例如:从 1、2、3、4、5、6、7、8、9 中任取六个数,问能组成多 少个数字不重复的六位数。 集合 A 为数字不重复的九位数的集合,S(A)=9! 集合 B 为数字不重复的六位数的集合。

把集合 A 分为子集的集合,规则为前 6 位数相同的元素构成一个子集。 显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数,等于剩余的 3 个数的全排 列,即 3! 这时集合 B 的元素与 A 的子集存在一一对应关系,则 S(A)=S(B)*3! S(B)=9!/3!

组合与排列的区别在于:每一个组合中的各元素是没有顺序的。无论这 些元素怎样排列,都只当作一种组合方式。所以在计算组合数的时候,只要 分步,就意味有次序。取 N 次,N 件物品的 N!种排列方式都会被当作不同 选法,该选法就重复计了 N!次。

比如 10 个球中任取三个球,取法应该是 C(10,3),但如果先从 10 个中取一个,得 C(10,1),再从 9 个中取一个 得 C(9,1),再从 8 个中取一个得 C(8,1),再相乘结果成了 P(10,3), 结果增大了 3!倍。

概率的概念:

在有限集合的情况下,概率是子集元素个数与全集元素个 数的比值;

在无限集合的情况下,概率是代表子集的点的面积与代表全集的 点的面积的比值。

概率分布函数可以描述概率分布的全貌。

离散型的概率分布是一组数 列,计算事件发生的概率、数学期望和方差都使用数列的计算方法。连续型的概率分布是一个函数,它等于概率密度函数的积分,计算事件发生的概率、 数学期望和方差都使用积分的计算方法。 概率的概念不难理解,解题能力决定于对数列和积分中的方法掌握的熟 练程度。 理解了基本概念,对基本数学方法就更容易掌握。