导读:基本数列是等差数列和等比数列

一、等差数列
 
一个等差数列由两个因素确定:首项a1和公差d.
 
得知以下任何一项,就可以确定一个等差数列(即求出数列的通项公式):
 
1、首项a1和公差d
 
2、数列前n项和s(n),因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)
 
3、任意两项a(n)和a(m),n,m为已知数
 
等差数列的性质:
 
1、前N项和为N的二次函数(d不为0时)
 
2、a(m)-a(n)=(m-n)*d
 
3、正整数m、n、p为等差数列时,a(m)、a(n)、a(p)也是等差数列
 
例题1:已知a(5)=8,a(9)=16,求a(25)
 
解: a(9)-a(5)=4*d=16-8=8
 
a(25)-a(5)=20*d=5*4*d=40
 
a(25)=48
 
例题2:已知a(6)=13,a(9)=19,求a(12)
 
解:a(6)、a(9)、a(12)成等差数列
 
a(12)-a(9)=a(9)-a(6)
 
a(12)=2*a(9)-a(6)=25
 
二、等比数列
 
一个等比数列由两个因素确定:首项a1和公差d.
 
得知以下任何一项,就可以确定一个等比数列(即求出数列的通项公式):
 
1、首项a1和公比r
 
2、数列前n项和s(n),因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)
 
3、任意两项a(n)和a(m),n,m为已知数
 
等比数列的性质:
 
1、a(m)/a(n)=r^(m-n)
 
2、正整数m、n、p为等差数列时,a(m)、a(n)、a(p)是等比数列
 
3、等比数列的连续m项和也是等比数列
 
即b(n)=a(n)+a(n+1)+...+a(n+m-1)构成的数列是等比数列。
 
三、数列的前N项和与逐项差
 
1、如果数列的通项公式是关于N的多项式,最高次数为P,则数列的前N项和是关于N的多项式,最高次数为P+1。
 
(这与积分很相似)
 
2、逐项差就是数列相邻两项的差组成的数列。
 
如果数列的通项公式是关于N的多项式,最高次数为P,则数列的逐项差的通项公式是关于N的多项式,最高次数为P-1。
 
(这与微分很相似)
 
例子:
 
1,16,81,256,625,1296 (a(n)=n^4)
 
15,65,175,369,671
 
50,110,194,302
 
60,84,108
 
24,24
 
从上例看出,四次数列经过四次逐项差后变成常数数列。
 
等比数列的逐项差还是等比数列
 
四、已知数列通项公式A(N),求数列的前N项和S(N)。
 
这个问题等价于求S(N)的通项公式,而S(N)=S(N-1)+A(N),这就成为递推数列的问题。
 
解法是寻找一个数列B(N),
 
使S(N)+B(N)=S(N-1)+B(N-1)
 
从而S(N)=A(1)+B(1)-B(N)
 
猜想B(N)的方法:把A(N)当作函数求积分,对得出的函数形式设待定系数,利用B(N)-B(N-1)=-A(N)求出待定系数。
 
例题1:求S(N)=2+2*2^2+3*2^3+...+N*2^N
 
解:S(N)
 
=S(N-1)+N*2^N
 
N*2^N积分得(N*LN2-1)*2^N/(LN2)^2
 
因此设B(N)=(PN+Q)*2^N
 
则 (PN+Q)*2^N-[P(N-1)+Q)*2^(N-1)=-N*2^N
 
(P*N+P+Q)/2*2^N=-N*2^N
 
因为上式是恒等式,所以P=-2,Q=2
 
B(N)=(-2N+2)*2^N
 
A(1)=2,B(1)=0
 
因此:S(N)=A(1)+B(1)-B(N)=(2N-2)*2^N+2
 
例题2:A(N)=N*(N+1)*(N+2),求S(N)
 
解法1:S(N)为N的四次多项式,
 
设:S(N)=A*N^4+B*N^3+C*N^2+D*N+E
 
利用S(N)-S(N-1)=N*(N+1)*(N+2)
 
解出A、B、C、D、E
 
解法2:
 
S(N)/3!=C(3,3)+C(4,3)+...C(N+2,3)=C(N+3,4)
 
S(N)=N*(N+1)*(N+2)*(N+3)/4